Dasar Aljabar Linier Numerik
Dasar Aljabar Linier Numerik adalah gabungan dari dua bidang matematika penting: Aljabar Linier dan Metode Numerik. Bidang ini fokus pada penyelesaian masalah aljabar linier secara komputasional. Biasanya digunakan dalam sains, teknik, dan analisis data.
🔹 1. Sistem Persamaan Linier
Persamaan berbentuk:
\( Ax = b \)
- \( A \): matriks koefisien (\(n \times n\))
- \( x \): vektor variabel (\(n \times 1\))
- \( b \): vektor konstanta (\(n \times 1\))
Tujuan: Mencari \( x \) sedemikian rupa sehingga \( Ax = b \).
🔹 2. Metode Penyelesaian
a. Metode Langsung
- Eliminasi Gauss
- Eliminasi Gauss-Jordan
- Dekomposisi LU (Lower-Upper)
b. Metode Iteratif
Digunakan jika ukuran matriks besar atau sparse:
- Jacobi Method
- Gauss-Seidel Method
- SOR (Successive Over Relaxation)
🔹 3. Kondisi dan Stabilitas
- Kondisi Matriks: \( \kappa(A) \) mengukur sensitivitas solusi terhadap gangguan kecil pada \( A \) atau \( b \).
- Matriks Ill-conditioned: kecil perubahan pada input bisa menghasilkan perubahan besar di solusi.
- Stabilitas Numerik: seberapa baik algoritma menangani pembulatan dan kesalahan komputasi.
🔹 4. Norma Matriks dan Vektor
Digunakan untuk mengukur besar vektor/matriks.
Norma vektor Euclidean:
\[ \|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2} \]
Norma matriks:
\[ \|A\| = \sup_{x \ne 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} \]
🔹 5. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
\[ Ax = \lambda x \]
- \( \lambda \): nilai eigen
- \( x \): vektor eigen
Metode numerik umum:
- Power Method
- QR Algorithm
🔹 6. Aplikasi
- Simulasi numerik (CFD, FEA)
- Machine Learning (misalnya regresi linier, PCA)
- Grafik komputer
- Optimasi numerik