🎯 Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa mampu:
- Menjelaskan konsep dua himpunan yang sama dan hampir sama.
- Menjelaskan bilangan kardinal (kardinalitas) dan penggunaannya dalam operasi himpunan.
- Menjelaskan konsep himpunan terhitung dan tak terhitung, serta memberikan contoh masing-masing.
🔹 1. Dua Himpunan yang Sama dan Hampir Sama
📌 Definisi:
Dua himpunan dikatakan sama jika setiap elemen dari himpunan pertama juga merupakan elemen himpunan kedua, dan sebaliknya.
\[
A = B \iff (\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B)
\]
📎 Contoh:
Misalkan:
\[
A = {1, 2, 3}, \quad B = {3, 2, 1}
\]
Maka:
\[
A = B \quad \text{(karena unsur-unsurnya sama, urutan tidak diperhatikan)}
\]
⚠️ Himpunan Hampir Sama:
Himpunan hampir sama berarti memiliki banyak elemen yang sama, tetapi tidak semua.
\[
C = {1, 2, 3}, \quad D = {1, 2, 4} \Rightarrow C \neq D
\]
🔹 2. Bilangan Kardinal (Kardinalitas)
📌 Definisi:
Bilangan kardinal dari suatu himpunan menyatakan jumlah elemen unik dalam himpunan tersebut.
\[
|A| = \text{jumlah elemen dalam } A
\]
📎 Contoh:
Jika:
\[
A = {2, 4, 6}, \quad B = {a, b, c, d}
\Rightarrow |A| = 3, \quad |B| = 4
\]
🔁 Dalam Operasi Himpunan:
Jika \( A \cap B = \emptyset \), maka:
\[
|A \cup B| = |A| + |B|
\]
Jika tidak disjoint:
\[
|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B|
\]
🔹 3. Himpunan Terhitung (Countable Sets)
📌 Definisi:
Himpunan dikatakan terhitung jika elemen-elemennya dapat dipasangkan satu-satu dengan bilangan asli \( \mathbb{N} \).
\[
\text{Contoh: } \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}
\]
Meskipun tampak “besar”, himpunan seperti bilangan bulat \( \mathbb{Z} \) masih dapat dipetakan secara bijektif ke \( \mathbb{N} \).
Contoh fungsi bijektif \( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \):
\[
f(n) =
\begin{cases}
\frac{n}{2}, & \text{jika } n \text{ genap} \\
-\frac{n-1}{2}, & \text{jika } n \text{ ganjil}
\end{cases}
\]
🔹 4. Himpunan Tak Terhitung (Uncountable Sets)
📌 Definisi:
Himpunan tak terhitung adalah himpunan yang tidak bisa dijajarkan satu-satu dengan \( \mathbb{N} \). Contoh utamanya adalah bilangan riil \( \mathbb{R} \).
\[
[0, 1] \subset \mathbb{R} \Rightarrow \text{juga tak terhitung}
\]
Pembuktian ketakterhinggaan ini dilakukan melalui Diagonal Cantor, yang menunjukkan bahwa tidak ada daftar lengkap semua bilangan riil antara 0 dan 1.
✏️ Latihan Pemahaman dan Pembahasan
Soal 1
Berikan dua himpunan yang tidak sama, tetapi memiliki irisan paling besar yang mungkin!
Pembahasan:
Misalkan:
\[
A = {1, 2, 3}, \quad B = {1, 2, 3, 4}
\Rightarrow A \neq B, \quad A \cap B = {1, 2, 3} = A
\]
Artinya, A adalah subset dari B, tetapi B memiliki elemen tambahan. Irisan terbesar terjadi saat salah satu himpunan adalah bagian dari yang lain.
Soal 2
Jika \( A = {1, 2, 3, 4} \) dan \( B = {3, 4, 5} \), hitung \( |A \cup B| \) dan jelaskan mengapa.
Pembahasan:
\[
A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}
\Rightarrow |A \cup B| = 5
\]
Menggunakan rumus:
\[
|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B| = 4 + 3 – 2 = 5
\]
Karena \( A \cap B = {3, 4} \), maka kita kurangi elemen yang tumpang tindih.
Soal 3
Apakah himpunan bilangan genap termasuk terhitung? Jelaskan dan berikan fungsi bijektif ke \( \mathbb{N} \).
Pembahasan:
Ya, himpunan bilangan genap \( E = {0, 2, 4, 6, \dots} \) adalah terhitung.
Fungsi bijektifnya:
\[
f(n) = 2n, \quad f: \mathbb{N} \to E
\]
Setiap bilangan asli dipetakan ke bilangan genap. Ini membuktikan bahwa bilangan genap dapat dijajarkan satu-satu dengan \( \mathbb{N} \), maka terhitung.
Soal 4
Buktikan bahwa \( \mathbb{Q} \) adalah terhitung, namun \( \mathbb{R} \) tidak.
Pembahasan:
- \( \mathbb{Q} \): Dapat dipetakan satu-satu ke \( \mathbb{N} \), dengan menyusun bilangan rasional sebagai pasangan terurut \( \frac{p}{q} \), lalu dijajarkan secara sistematis (misal, menggunakan teknik enumerasi diagonal).
- \( \mathbb{R} \): Tak terhitung. Cantor membuktikan bahwa tidak ada pemetaan bijektif antara \( \mathbb{R} \) dan \( \mathbb{N} \) melalui Diagonal Argument — setiap daftar bilangan riil pasti bisa dikonstruksi bilangan riil baru yang berbeda di satu digit dari setiap bilangan dalam daftar.