Sebuah fungsi dari himpunan ( A ) ke himpunan ( B ) adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap elemen di ( A ) dengan tepat satu elemen di ( B ). Jika ( f ) adalah fungsi, maka:
\[
f: A \to B, \quad f(a) = b
\]
Artinya, setiap elemen \( a \in A \) dipetakan ke tepat satu elemen \( b \in B \).
Operasi pada Fungsi
Jika \( f(x) \) dan \( g(x) \) adalah dua fungsi, maka:
- Penjumlahan: \( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \)
- Pengurangan: \( (f – g)(x) = f(x) – g(x) \)
- Perkalian: \( (fg)(x) = f(x) \cdot g(x) \)
- Pembagian: \( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \), dengan \( g(x) \ne 0 \)
Domain Operasi Fungsi
Domain hasil operasi fungsi bergantung pada irisan domain masing-masing fungsi, ditambah syarat tambahan. Misalnya, pada pembagian fungsi:
\[
\text{Domain} = {x \in \text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) \mid g(x) \ne 0 }
\]
Fungsi Satu-satu, Pada, dan Bijektif
- Injektif (satu-satu): \( f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 \)
- Surjektif (pada): \( \forall b \in B, \exists a \in A \text{ sehingga } f(a) = b \)
- Bijektif: fungsi yang sekaligus injektif dan surjektif
Fungsi Ganjil dan Genap
- Genap: \( f(-x) = f(x) \)
- Ganjil: \( f(-x) = -f(x) \)
Contoh:
- \( f(x) = x^2 \Rightarrow \) genap
- \( f(x) = x^3 \Rightarrow \) ganjil
Fungsi Harga Mutlak
\[
f(x) = |x| =
\begin{cases}
x, & x \geq 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
\]
Fungsi Komposisi
Jika \( f: A \to B \) dan ( g: B \to C ), maka komposisi fungsi:
[
(g \circ f)(x) = g(f(x))
]
Domain dari ( g \circ f ): semua ( x \in A ) sehingga ( f(x) \in B ) dan ( g(f(x)) \in C )
Fungsi Invers
Jika ( f: A \to B ) adalah bijektif, maka fungsi invers ( f^{-1} ) memenuhi:
[
f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{dan} \quad f(f^{-1}(y)) = y
]
Soal dan Pembahasan Menantang
Soal 1
Diketahui fungsi ( f(x) = \frac{2x + 3}{x – 1} )
Tentukan:
- Domain dari \( f(x) \)
- Apakah \( f(x) \) injektif?
- Fungsi invers \( f^{-1}(x) \)
Pembahasan:
- [
\text{Domain: } x \in \mathbb{R},\ x \ne 1
] - Untuk mengecek injektif:
[
\frac{2x_1 + 3}{x_1 – 1} = \frac{2x_2 + 3}{x_2 – 1} \Rightarrow x_1 = x_2
]
Maka fungsi injektif.
- Cari invers:
[
y = \frac{2x + 3}{x – 1} \Rightarrow x = \frac{y + 3}{y – 2}
]
Jadi:
[
f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x – 2}
]
Soal 2
Tentukan apakah fungsi ( f(x) = \sqrt{1 – x^2} ) adalah ganjil, genap, atau bukan keduanya.
Pembahasan:
[
f(-x) = \sqrt{1 – (-x)^2} = \sqrt{1 – x^2} = f(x)
\Rightarrow \text{fungsi genap}
]
Soal 3
Diketahui:
- \( f(x) = \sqrt{x – 2} \)
- \( g(x) = \frac{1}{x – 1} \)
Tentukan:
- \( (g \circ f)(x) \)
- Domain dari \( g \circ f \)
Pembahasan:
[
(g \circ f)(x) = \frac{1}{\sqrt{x – 2} – 1}
]
Syarat:
- \( x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
- \( \sqrt{x – 2} \ne 1 \Rightarrow x \ne 3 \)
Domain:
[
x \in [2, \infty),\ x \ne 3
]